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基于点集理论的空间拓扑关系分类-凯发app官网登录

【摘要】:第一节 基于点集理论的空间拓扑关系分类一、空间目标的描述二维地理空间中任何空间目标可表示为一个集合a,设a是子空间x的一个子集,a>x>r2。线与区域之间有11种空间拓扑关系。因此,特别是当两个空间目标相离时,利用v9i模型可以进一步对其拓扑关系进行划分。
基于点集理论的空间关系分类_空间与渐进式

第一节 基于点集理论的空间拓扑关系分类

一、空间目标的描述

地理空间中任何空间目标可表示为一个集合a,设a是子空间x的一个子集,a>x>r2。在集合a的拓扑空间中,若一个子集的所有邻域在a内,则该子集就是集合a的内域,可以表示为a°;若一个子集的元素的邻域中有一部分在a内,但不全在a内,则该子集合就是集合a的边界,可以表示为aa。内域和边界的特性是:a°∩aa=ō;a°∪aa=a。若用栅格模型表示空间目标,就能比较好地理解这些问题,如图3-1(a)所示,值为0的是像素值为1的单元的邻域,图3-1(b)表示了一个空间对象,它的像素值为1,对应这样一个目标,图3-1(c)说明了它的内域(像素值为2)和边界(像素值为1)。

(a)

(b)

(c)

图3-1栅格模型表示的空间目标及其内域和边界

二、基于4交集的空间拓扑关系分类

空间拓扑关系可以用点集理论来描述,egenhofer等(1991)提出了一种基于4交集的空间拓扑关系分类模型。设有两个空间目标a和b(a≠ō,b≠ō),空间目标a和b的内域和边界分别定义为:a°和aa、b°和ab。这四个集合的组合可以描述为:

通过这些集合的交集是否为空(ō或0)来判断空间目标a和b之间的拓扑关系,理论上,共有24=16种拓扑关系。在实际应用中,有些空间拓扑关系是不存在的,若空间目标a和b都是区域(region),那么,对于两个区域而言,只有8种关系存在。线与线之间有16种空间拓扑关系。线与区域之间有11种空间拓扑关系。

三、基于9交集的空间拓扑关系分类

9交集模型是在4交集模型基础上发展起来的,用于描述两个地理空间目标之间的空间拓扑关系的三个集合是:目标的内域、外域和边界。目标的内域、边界的定义都与4交集中的定义相同,目标的外域可被定义为目标集合的补集,因为该目标是位于一个有限的空间中,如图3-2所示,图3-2(a)是一个地理空间目标(区域),图3-2(b)说明了该目标的内域、外域和边界,它们的像素值分别为2、0和1。

设有两个空间目标a和b(a≠ō,b≠ō),它们的内域、边界和外域分别为:a°、aa和a;b°、ab和b-。这六个集合的组合可以描述为:

理论上共有29=512种拓扑关系,但实际上,还要考虑一些具体的空间规则的限制,例如,任意两个目标的补集总是相交的,即a∩b=1,这就使得该模型所描述的拓扑关系类型的数量减少了一半。

图3-2 目标的内域、外域和边界

两个区域之间的拓扑关系在9交集模型中可以表达8种;线与区域之间的拓扑关系有19种;线与线之间的拓扑关系有33种,如图3-3所示(egenhofer和herring,1994)。当线为复杂线(有两个以上的端点,而简单线只有两个端点,并且线不自交)时,可以增加24种拓扑关系,如图3-4所示(egenhofer和herring,1994)。

四、9交集模型的其他形式

等(2002)对9交集模型作了进一步的改进,提出了“v9i模型”。也有学者对9交集模型中所使用的三种集合的定义做了其他形式的改变,以便满足不同的要求。(www.guayunfan.com)

1.v9i模型

v9i模型的主要思想是:首先用voronoi图建立目标之间的邻近关系,并且用一个空间目标的voronoi区域作为该目标的外域,目标的内域和边界的定义与9交集模型中的定义相同,拓扑关系的定义方法类似于9交集模型,即利用两个目标的内域、外域和边界相互间的交集的值的不同组合来区分目标之间的空间拓扑关系。设有两个空间目标a和b(a≠ō,b≠ō),它们的内域、边界和外域分别定义为:a°、aa和av;b°、ab和bv。av和bv分别表示目标a和b的voronoi区域,两个空间目标之间的拓扑关系可以描述为:

在9交集模型中,我们只考虑一个子空间中的两个空间目标,并假设其他空间目标不存在。这是一种理论上的分析,在空间关系的判别和查询中,空间目标总是位于目标群中,目标群之间本身就存在空间邻近关系,voronoi图是描述目标邻近关系的方法之一,在空间目标之间拓扑关系的分类中使用voronoi图明显是非常恰当的,其主要的优点是:把空间邻近关系纳入拓扑关系的考虑因素中。因此,特别是当两个空间目标相离时,利用v9i模型可以进一步对其拓扑关系进行划分。

3-3 线与线之间的33种拓扑关系(egenhofer和herring,1994)

图3-4 增加的24种线与线之间的拓扑关系(egenhofer和herring,1994)

egenhofer等(1993)比较了9交集模型和4交集模型,表3-1说明了不同模型在描述线与区域之间拓扑关系时的差别,在中a为线,b为区域。

表3-1 基于不同模型的线与区域之间的拓扑关系举例

2.外域、内域和边界的另类定义

我们习惯地认为,一个空间目标所在的子空间集合总是完全包含该空间目标,实际上,一个空间目标有可能被子空间的边界剪裁掉,这一点,对于区域来说,非常重要,因为它的边界会变得不完整,以至9交集模型的集合必须重新定义,图3-5显示了一个完整的区域,“1”表示边界,“2”表示内域,“0”表示外域,但是,当子空间发生变化时,该子区域的边界被剪裁掉了一部分,图3-6说明了这一点。

设子空间是一个有限的无空洞的空间,用x表示,它具有的特性是:x>r2,(x°)=x,其中,x°表示x的内域,x表示x的闭包。设一个空间目标集合为s,那么可定义它的内域为s°、边界为as、闭包为s、补集为sc,用补集表示外域。对于空间中的一个点p而言,它的边界、内域和补集可以分别定义为:ap=p°=p,pc=x\p,其中,“\”表示减去。

对于空间中的一条线l,它的边界、内域和补集可以分别定义为:al={x1,xn},x1和xn是线的端点;l°=l\{x1,xn};lc=x\l。对于一个区域r而言,r=(r°),因为它有可能被剪裁,这里引用一个集合rd,它是r的内域与子空间边界的交集,rd=r°∩ax,那么,在这种情况下,r的边界为ar∪rd;r的内域为r°\rd;r的补集为rc=x\r。

在分析空间目标的边界时,以及在考虑空间目标的拓扑关系时,我们始终默认空间目标的边界是非常窄的,或者说是“无宽度的”,因为几何上的线确实是无宽度的。但是,在客观地理世界里,边界始终是有宽度的。在宽边界的条件下,空间目标之间的拓扑关系会发生很大变化,clementini和felice(1994)以区域与区域之间的拓扑关系为例研究了这个问题。用4交集模型,宽边界的区域之间的拓扑关系的数量是如下11个:

图3-5 子空间与空间目标图3-6子空间的变化